Fonction paire et impaire (hors-programme-lycee) - Exercices corrigés: ChingAtome qsdfqsd Signalez erreur ex. 0000 Merci d'indiquer le numéro de la question Votre courriel: Se connecter Identifiant: Mot de passe: Connexion Inscrivez-vous Inscrivez-vous à ChingAtome pour profiter: d'un sous-domaine personnalisé: pour diffuser vos feuilles d'exercices du logiciel ChingLink: pour que vos élèves profitent de vos feuilles d'exercices sur leur appareil Android du logiciel ChingProf: pour utiliser vos feuilles d'exercices en classe à l'aide d'un vidéoprojecteur de 100% des exercices du site si vous êtes enseignants Nom: Prénom: Courriel: Collège Lycée Hors P. Info Divers qsdf
Fonction paire Une fonction $f$ définie sur $\mathbb{R}$ est paire si pour tout réel $x$ de $D$ on a: $\begin{cases} -x\in D\\ f(-x)=f(x) \end{cases}$ La représentation graphique de $f$ est alors symétrique par rapport à l'axe des ordonnées. Remarque: pour tout réel $x\in D$ on a $-x\in D$ signifie que l'ensemble de définition est symétrique par rapport au zéro. Par exemple si $D=[-3;5]$ la fonction $f$ ne peut pas être paire. Déterminer d'abord l'ensemble de définition de $f$ La courbe est symétrique par rapport à l'axe des ordonnées Pour que l'axe des ordonnées soit un axe de symétrie, on doit avoir $D_f=[-4;4]$ $f$ est une fonction impaire. Fonction impaire Une fonction $f$ définie sur $\mathbb{R}$ est impaire si pour tout réel $x$ de $D$ on a: f(-x)=-f(x) La représentation graphique de $f$ est alors symétrique par rapport à l'origine du repère. Par exemple si $D=[-3;5]$ la fonction $f$ ne peut pas être impaire. La courbe est symétrique par rapport à l'origine du repère Pour que l'origine du repère soit un centre de symétrie, on doit avoir $D_f=[-4;4]$ Pour que l'axe des ordonnées soit un axe de symétrie, on doit avoir $D_f=[-3;3]$ Infos exercice suivant: niveau | 4-6 mn série 5: Fonctions paires et impaires Contenu: - compléter le tableau de variation en utilisant la parité d'une fonction Exercice suivant: nº 314: Tableau de variation de fonctions paires et impaires - compléter le tableau de variation en utilisant la parité d'une fonction
C'est ce qui explique leur nom de fonctions impaires. Théorème 2. Dans un repère orthogonal (ou orthonormé), la courbe représentative d'une fonction impaire est symétrique par rapport à l'origine $O$ du repère. Exemple:(modèle) Dans un repère orthogonal (ou orthonormé), la fonction cube $f:x\mapsto x^{3}$ définie sur $\R$ est une fonction impaire car $D_{f}=\R$ est symétrique par rapport à zéro et pour tout $x\in \R$: $$f(-x)=(-x)^{3}=-x^{3}=-f(x)$$ La courbe de la fonction cube est symétrique par rapport à l'origine $O$ du repère. Si une fonction est impaire, on peut réduire le domaine d'étude de la fonction à la partie positive de $D_{f}$. La courbe de $f$ peut alors se construire par symétrie par rapport à l'origine $O$ du repère. 3. Exercices résolus Exercice résolu n°1. 1°) Étudier la parité de la fonction $f$ définie par: $$f(x) =3x^2(x^2-4)$$ 2°) Interpréter graphiquement votre résultat dans un repère orthogonal quelconque. Exercice résolu n°2. 1°) Étudier la parité de la fonction $f$ définie par: $$f(x)=\dfrac{1}{x}$$ 2°) Interpréter graphiquement votre résultat dans un repère orthogonal quelconque.
Si $n$ est impair, il existe alors un entier relatif $k$ tel que $n=2k+1$. Par conséquent $n+1=2k+1+1=2k+2=2(k+1)$. Ainsi $n(n+1)=n\times 2(k+1)$ est pair. Exercice 4 On considère un entier naturel $n$. Étudier la parité des nombres suivants: $$A=2n+6 \qquad B=6n+8 \qquad C=40n+1 $$ Montrer que $A+C$ est un multiple de $7$. Correction Exercice 4 Le produit et la somme de deux entiers relatifs sont des entiers relatifs. $A=2n+6=2(n+3)$ est pair $B=6n+8=2(3n+4)$ est pair $C=40n+1=2\times 20n+1$ est impair On a: $\begin{align*} A+C&=2n+6+40n+1 \\ &=42n+7 \\ &=7\times 6n+7\times 1\\ &=7(6n+1)\end{align*}$ Donc $A+C$ est un multiple de $7$. Exercice 5 Pour tout entier naturel $n$ montrer que $5n^2+3n$ est un nombre pair. Correction Exercice 5 On suppose que $n$ est impair. D'après le cours, on sait que si $n$ est impair alors $n^2$ est également impair. Il existe donc deux entiers relatifs $a$ et $b$ tels que $n=2a+1$ et $n^2=2b+1$. $\begin{align*} 5n^2+3n&=5(2b+1)+3(2a+1) \\ &=10b+5+6a+3\\ &=10b+6a+8 \\ &=2(5b+3a+4)\end{align*}$ Par conséquent $5n^2+3n$ est pair.
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