Polynésie 2007 exercice 1 Pour réaliser une loterie, un organisateur dispose d'un sac contenant exactement un jeton blanc et neuf jetons noirs indiscernables au toucher et d'autre part d'un dé cubique équilibré dont les faces sont numérotées de 1 à 6. Il décide des règles suivantes pour le déroulement d'une partie. Le joueur doit tirer un jeton puis jeter le dé: – si le jeton est blanc, le joueur perd lorsque le jet du dé donne 6; – si le jeton est noir, le joueur gagne lorsque le jet du dé donne 6; A la fin de la partie, le jeton est remis dans le sac. On note B l'événement « le jeton tiré est blanc » et G l'événement « le joueur gagne le jeu ». L'événement contraire d'un événement E sera noté La probabilité d'un événement E sera noté p(E). Partie A 1) Montrer que p(G) = 7/30. On pourra s'aider d'un arbre pondéré. 2) Quelle est la probabilité que le joueur ait tiré le jeton blanc sachant qu'il a perdu? 3) Un joueur fait quatre parties de façon indépendante. Calculer la probabilité qu'il en gagne exactement deux et en donner une valeur approchée à 10 -3 près.
On cherche à simuler 500 lancers d'une pièce de monnaie équilibrée et à calculer la fréquence d'apparition des "pile", en utilisant un programme écrit avec le langage Python. Quel programme permet de réaliser cela? On cherche à simuler 1000 lancers d'un dé cubique équilibré dont les faces sont numérotées de 1 à 6 et à compter le nombre de résultats inférieurs ou égaux à 3 obtenus, en utilisant un programme écrit en langage Python. Quel programme permet de réaliser cela? On cherche à simuler 1000 lancers d'un dé cubique non truqué, dont les faces sont numérotées de 1 à 6, et à déterminer le nombre maximal de 1 consécutifs obtenus, en utilisant un programme écrit en langage Python. Quel programme permet de réaliser cela? On dispose d'une urne contenant 10 boules, indiscernables au toucher, numérotées de 1 à 10. On cherche à simuler 1000 tirages d'une boule, avec remise, et à calculer la fréquence de 7 obtenus, en utilisant un programme écrit en langage Python. Quel programme permet de réaliser cela?
Démonstration Rappel: 1 + q + q 2 + … + q n = Pour tout entier n non nul: P ( X > n) = 1 – P ( X ≤ n) P ( X > n) = 1 – [ P ( X = 1) + P ( X = 2) + … + P ( X = n)] P ( X > n) = 1 – [ p × (1 – p) 0 + p × (1 – p) 1 + … + p × (1 – p) n – 1] P ( X > n) = 1 – p × [1 + ( 1 – p) 1 + … + (1 – p) n – 1] P ( X > n) = d'après (R1) P ( X > n) = 1 – ( 1 – (1 – p) n) P ( X > n) = (1 – p) n (R2) P X > n ( X > m + n) = d'après (R2) P X > n ( X > m + n) = (1 – p) m P X > n ( X > m + n) = P ( X > m) Après 5 lancers d'un dé équilibré, aucun 6 n'est sorti. La probabilité qu'aucun 6 ne sorte avant le 12 e lancer est égale à la probabilité qu'aucun 6 ne sorte sur les 7 prochains lancers. P X > 5 ( X = 12) = P X > 5 ( X > 7 + 5) = P ( X > 7) On « oublie » le fait qu'aucun 6 ne soit sorti sur les 5 premiers lancers, on repart de 0 et on s'intéresse aux 7 prochains lancers. Réciproquement, si une variable aléatoire est sans mémoire, alors elle suit une loi Vous avez déjà mis une note à ce cours. Découvrez les autres cours offerts par Maxicours!
La distribution de probabilité exacte pour un nombre de dés peut être calculée par convolution répétée de la distribution de probabilité d'un dé simple avec elle-même: F i ( m) = ∑ n F 1 ( n) F i -1 ( m - n). La somme variant de 1 à d lorsque les dés ont d faces et que les faces sont numérotées de 1 à d. Voir aussi [ modifier | modifier le code] Loi triangulaire Calculs des probabilités pour le jeu du Martinetti Bibliographie [ modifier | modifier le code] (en) Catalin Barboianu, Probability Guide to Gambling. The Mathematics of Dice, Slots, Roulette, Baccarat, Blackjack, Poker, Lottery and Sport Bets, INFAROM Publishing, 2006, 316 p. ( ISBN 973-87520-3-5, présentation en ligne, lire en ligne). (en) Paul J. Nahin, Digital Dice. Computational Solutions to Practical Probability Problems, Princeton University Press, 2008, 263 p. ( ISBN 978-0-691-12698-2 et 0-691-12698-4, présentation en ligne, lire en ligne). Martine Quinio Benamo, Probabilités et statistique aujourd'hui. Pourquoi faire?
Comment savoir si notre aquarium est bien oxygène? Les symptômes d'un manque d' oxygène qui doivent alerter sont les suivants: les poissons se tiennent constamment à la surface, à la recherche « d'air ». Ils se placent en réalité à l'endroit où s'effectuent les échanges gazeux, c' est à dire à l'endroit où l' oxygène est susceptible d'être le plus concentré. Comment garder l'eau des poissons rouge propre? Renouveller la totalité de l' eau de l'aquarium est un erreur, car cela perturbe le milieu. Mieux vaut remplacer 1/5 de l' eau, toutes les semaines ou tous les 15 jours. Il faut également éviter de trop nettoyer l'aquarium: graviers, éléments de décoration, filtres sont recouvert d'un film de « bonnes » bactéries. Comment faire pour que l'eau de l'aquarium reste claire? Comment avoir une eau cristalline dans son aquarium? Patientez une semaine. Essuyez le verre de l' aquarium. Utilisez une meilleure pompe- aquarium. Changez 20 à 30% de l' eau toutes les semaines. Lavez le filtre- aquarium.
Cette année, les élèves du CE2 au CM2 de l'école des Quatre Vents ont travaillé leur équilibre et leur maîtrise du vélo grâce à leur enseignante Valérie Boulouis et son intervenant sportif Stéphane Jeleff. À partir de petits jeux et défis, en surmontant les obstacles et les pièges des parcours imaginés pour eux, les enfants ont appris à "dompter" leur engin pour qu'il leur obéisse au doigt et à l'œil. Ils ont ensuite utilisé ces compétences pour évoluer sur un parcours agrémenté de panneaux routiers de toutes sortes, de routes prioritaires, de ronds-points, de feux tricolores et passages piétons afin de se familiariser avec le Code de la route et le comportement à adopter sur la route. Grâce à cet entraînement studieux, ils ont pu se rendre dans la commune voisine de Villefranche-de-Panat pour appliquer toutes ces connaissances sur la voie publique, au milieu de la circulation… Ils ont, en effet, participé à un regroupement avec les écoles du secteur (Alrance et Villefranche-de-Panat) encadrés par les enseignantes, les parents d'élèves bénévoles ainsi que deux membres de Prévention Maif, qui œuvre pour sensibiliser les jeunes au respect du Code de la route.
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