Résumé de Cours de Sup et Spé T. S. I. - Analyse - Séries Entières Sous-sections 23. 1 Rayon de convergence 23. 2 Convergence 23. 3 Somme de deux séries entières 23. 4 Développement en série entière 23. 5 Séries entières usuelles 23. 6 Sér. ent. solution d'une équation diff. Définition: Une série entière est une série de la forme ou, selon que l'on travaille sur ou sur 23. 1 Rayon de convergence Pour rechercher le rayon de convergence, 23. 2 Convergence Théorème: La figure ci-dessous illustre ce théorème. Théorème: Quand la variable est réelle, la série entière se dérive et s'intègre terme à terme sur au moins. Elle s'intègre même terme à terme au moins sur sur l'intervalle de convergence Théorème: La série entière, sa série dérivée et ses séries primitives ont le même rayon de convergence. Théorème: La somme d'une série entière est de classe sur, et continue sur son ensemble de définition. Séries entières. Développement des fonctions usuelles en séries entières - YouTube. 23. 3 Somme de deux séries entières Théorème: est de rayon 23. 4 Développement d'une fonction en série entière Définition: Une fonction est développable en série entière en 0 il existe une série entière et un intervalle tels que Théorème: Si est développable en série entière en 0 alors la série entière est la série de Taylor et: En général est l'intersection de l'ensemble de définition de et de l'ensemble de convergence de, mais cela n'est pas une obligation...
En particulier, si $a_n\sim b_n$, alors $R_a=R_b$. Rayon de convergence de la série dérivée: Le rayon de convergence de $\sum_n na_nz^n$ est égal au rayon de convergence de $\sum_n a_nz^n$. Somme de deux séries entières: Le rayon de convergence de la série somme $\sum_n (a_n+b_n)z^n$ vérifie $R\geq \min(R_a, R_b)$. De plus, pour tout $z\in\mathbb C$ avec $|z|<\min(R_a, R_b)$, alors $$\sum_{n\geq 0} (a_n+b_n)z^n=\sum_{n\geq 0} a_n z^n+\sum_{n\geq 0}b_nz^n. $$ On appelle série entière produit de $\sum_n a_nz^n$ et de $\sum_n b_nz^n$ la série entière $\sum_n c_nz^n$ avec $c_n=\sum_{k=0}^n a_k b_{n-k}$. Séries entières | Licence EEA. Proposition: Le rayon de convergence $R$ de la série produit $\sum_n c_nz^n$ de $\sum_n a_nz^n$ et $\sum_n b_nz^n$ vérifie $R\geq \min(R_a, R_b)$. De plus, pour tout $z\in\mathbb C$ avec $|z|<\min(R_a, R_b)$, alors $$\sum_{n\geq 0} c_nz^n=\left(\sum_{n\geq 0} a_n z^n\right)\times\left(\sum_{n\geq 0}b_nz^n\right). $$ Régularité, cas de la variable réelle On s'intéresse désormais au cas où la variable ne peut plus prendre que des valeurs réelles, et nous noterons désormais les séries entières $\sum_n a_n x^n$.
Définition: Une série de Riemann est une série de la forme: où est un réel. Fondamental: La série de Riemann converge si et seulement si. Définition: Une série de Bertrand est une série de la forme: et sont des réels. Fondamental: La série de Bertrand converge si et seulement si ou. Définition: Une série géométrique est une série de la forme: est un réel ou un complexe. Une série est dérivée d'ordre p de la série géométrique si elle est de la forme: (définie pour). Fondamental: Les séries géométriques et leurs dérivées convergent si et seulement si:. Méthodes : séries entières. Alors pour tout entier:. En particulier, si:... Définition: Une série exponentielle est une série de la forme: est un réel ou un complexe. Fondamental: La série exponentielle converge pour toute valeur de et:. Fondamental: Conséquences: La série converge pour tout réel et:. La série et:.
Déterminer la somme d'une série entière Pour exprimer la somme d'une série entière à l'aide des fonctions classiques, on se ramène toujours aux développements en série entière usuels. Pour cela, on peut utiliser plusieurs astuces: Pour une série entière du type $\sum_n \frac{P(n)}{n! }z^n$, on exprime $P(X)$ dans la base $X, X(X-1), X(X-1)(X-2), \dots$ afin de se ramener à la série de l'exponentielle ( voir cet exercice). Pour une série entière du type $\sum_n F(n)z^n$ où $F$ est une fraction rationnelle, on décompose $F$ en éléments simples ( voir cet exercice); S'il y a des multiplies de $n$ ou de $1/(n+1)$ par rapport aux séries classiques, penser à intégrer ou à dériver ( voir cet exercice).
Enfin, il est parfois nécessaire d'étudier ce qui se passe sur le bord du disque de convergence (lorsque le module de zest égal à R), où le comportement de la série est difficilement prévisible. FONCTION DÉVELOPPABLE EN SÉRIE ENTIÈRE On dit qu'une fonction d'une variable complexe est dévelop¬ pable en série entière au voisinage d'un point s'il existe une série entière de rayon de convergence R strictement positif telle que la fonction soit égale à la limite de cette série entière. Une fonction développable en série entière est infiniment dérivable, l'inverse n'étant pas toujours vrai. Les fonctions usuelles (exponentielle, logarithme, fonctions trigonomé- triques, etc. ) sont toutes développables en série entière. Cette propriété est très utile, par exemple dans des calculs d'intégrales. Enfin, on dit qu'une fonction est analytique sur un ensemble U si elle est développable en série entière en tout point de cet ensemble. Si, dans l'ensemble des réels, toute fonction infiniment dérivable n'est pas nécessairement analytique, cette propriété est vraie en analyse complexe.
Recette Brick Vache Qui Rit Préambule: Préparez une farce à la vache qui rit parfumée au ras-el-hanout et à la coriandre et confectionnez des bouchées avec des feuilles de brick. Une préparation frite dans l'huile, à savourer en entrée ou à l'apéritif. Préparation: 10 min Cuisson: 5 min Total: 15 min Ingrédients pour réaliser cette recette pour 2 personnes: 8 feuilles de brick 10 portions de Vache qui rit 1 c. à café de ras-el-hanout Feuilles de coriandre ciselées Huile de friture Farine Eau chaude Sel Poivre Préparation de la recette Brick Vache Qui Rit étape par étape: 1. Versez l'huile de friture dans une marmite et mettez-la en chauffe sur le feu modéré. Puis brassez un peu d'eau chaude avec un nuage de farine pour obtenir une pâte collante. 2. Déballez les fromages en portions, insérez-les dans un petit saladier et broyez-les énergiquement avec une fourchette. 3. Saupoudrez-les de ras-el-hanout, de sel et de poivre selon vos envies, éparpillez un peu de coriandre hachée et remuez la préparation pour bien l'amalgamer.
Pour un délicieux repas avec toute la famille, voici une recette de bricks à la Vache Qui Rit et à la viande hachée. Une recette très simple qui pourra s'accompagner d'une salade verte assaisonnée. Préparation: 15 minutes Cuisson: 15 minutes Recette pour 4 personnes Ingrédients: 1 paquet de feuilles de brick Des portions de Vache Qui Rit 400 g de viande hachée 1 cas d'huile 1 cac de cannelle en poudre 1 oignon 1 cas de beurre Persil Sel Poivre Préparation: 1. Hachez le persil et émincez l'oignon. 2. Dans une casserole, faites fondre le beurre avec l'huile puis ajoutez la viande hachée, l'oignon, la cannelle et le persil. 3. Salez, poivrez puis faites cuire. Ensuite laissez complètement refroidir. 4. Quand la farce est froide, mettez-en un peu en bas au centre d'une feuille de brick puis ajoutez un peu de Vache Qui Rit. 5. Repliez la feuille de brick sur la farce, pliez aussi les côtés afin d'obtenir un rectangle. Serrez bien pour que ça tienne puis faites de même avec le reste de farce et de feuilles de brick.
28 recettes 0 Bricks à la viande hachée à ma façon (aux pommes de terre, fromages et épices) 5 / 5 ( 4 avis) Bricks a la viande hachée et aux légumes 4. 5 / 5 ( 2 avis) Bricks à la viande hachée d'agneau 4 / 5 ( 2 avis) Bricks à la viande hachée 3. 5 / 5 ( 2 avis) Bricks à la viande hachée et aux pignons 0 / 5 ( 0 avis) Bricks au fromage et viande hachée 4. 5 / 5 ( 12 avis) Brick/Samossa à la viande hachée et au fromage 3. 3 / 5 ( 6 avis) Bricks à la pomme de terre, viande hachée, olives vertes et kiri 5 / 5 ( 2 avis) Bricks à la viande et moutarde 4. 8 / 5 ( 27 avis) Brick à la viande aux saveurs de l'Orient 4. 8 / 5 ( 4 avis) Bourek à la viande hachée 4. 5 / 5 ( 4 avis) Bricks à la viande 4. 3 / 5 ( 6 avis) 1 2 3 Soif de recettes? On se donne rendez-vous dans votre boîte mail! Découvrir nos newsletters
4. Déroulez les feuilles de brick et partagez-les en deux moitiés. Tournez les demi-feuilles de façon à ce que l'arc de cercle soit près de vous et placez 2 sacs du mélange sur un côté. 5. Repliez ensuite la feuille de manière à bien envelopper la farce en soudant les bords avec la colle naturelle, réservez les bouchées dans un plat et poursuivez le montage de toutes les autres pièces. 6. Dès que la phase précédente est terminée, jetez délicatement un premier chausson dans l'huile frémissante et laissez-le rissoler quelques minutes. 7. Retirez-le avec soin quand il est parfaitement doré, épongez-le sur un lit de papier absorbant et poursuivez l'action avec toutes les bouchées. 8. Servez-les ensuite avec une salade en entrée chaude ou tiède et régalez-vous aussitôt. Imprimez la recette Brick Vache Qui Rit: Partagez la recette Brick Vache Qui Rit avec vos amis: Découvrez également d'autres recettes Entrée: Quiche Lorraine avec un seul Oeuf Il vous suffira d'un seul oeuf pour réaliser l'appareil de cette quiche Lorraine, garnie de jambon et de gruyère râpé.
Une fois la technique de pliage intégrée, réalisez tout un tas de samoussas garnis de vos ingrédients préférés.
6. Laissez dorer 6 minutes en retournant à mi-cuisson, puis servez bien chaud.
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